Trigonométrie et dynamique de marché
Décrire le mouvement du S&P 500 avec le langage des phénomènes périodiques : rotation, phase, amplitude, vitesse, accélération. Non pas pour prédire le marché, mais pour le mesurer avec des mots qui ne trichent pas.
Un point tourne à vitesse constante sur un cercle. Sa hauteur tracée dans le temps est une sinusoïde. Toute la formation tient dans cette correspondance : ce qui semble une oscillation sur un graphique est peut-être une rotation vue de profil.
Ce que ce cours affirme — et ce qu'il n'affirme pas
Une formation destinée à des professionnels doit commencer par délimiter son périmètre. Celle-ci s'ouvre donc sur ses propres limites.
La trigonométrie appliquée aux marchés traîne derrière elle une littérature abondante et souvent peu rigoureuse. Il faut donc être explicite dès la première page.
- Que le prix du S&P 500 est une fonction sinusoïdale. Il ne l'est pas.
- Qu'il existe des cycles fixes, stables et exploitables mécaniquement. Les périodes observées sur données de marché sont instables et se déplacent.
- Qu'un angle mesuré sur un graphique possède une signification intrinsèque. Il n'en a aucune tant qu'il n'est pas normalisé — c'est l'objet du module 08.
- Que la décomposition spectrale d'une série de prix produit un signal de trading. Le module 06 montre expérimentalement pourquoi elle n'y suffit pas.
- Que le vocabulaire des phénomènes périodiques — phase, amplitude, période, déphasage, dérivée — décrit ce que vous observez déjà, avec une précision que le vocabulaire chartiste courant n'atteint pas.
- Que remplacer « le marché s'essouffle » par « la dérivée seconde du prix a changé de signe il y a trois barres » transforme une impression en mesure, donc en quelque chose de testable, de journalisable et d'automatisable.
- Que la distinction entre niveau, vitesse et accélération résout la plupart des confusions de lecture entre prix, momentum et oscillateurs.
- Que la décomposition vectorielle d'un mouvement (temps × prix) est la seule façon propre de comparer deux impulsions d'échelles différentes.
Autrement dit : la trigonométrie est ici traitée comme un langage de description, pas comme un système de prévision. C'est un instrument de mesure, au même titre qu'un chronomètre. Un chronomètre ne fait pas courir plus vite ; il permet de dire à quelle vitesse on court, et cela change tout ce qu'on peut ensuite décider.
Toutes les figures animées de ce support utilisent des données synthétiques, générées par des formules affichées à l'écran. Aucune n'est un historique réel du ES. C'est délibéré : une figure synthétique montre exactement le phénomène étudié, sans laisser croire qu'un cas particulier constitue une preuve. Les séances réelles s'étudient sur votre plateforme, avec la grille de lecture du module 10.
Pourquoi la trigonométrie en trading
Un marché ne monte jamais en ligne droite. La question est de savoir pourquoi, et quel vocabulaire décrit correctement ce qu'il fait à la place.
Le mouvement n'est pas monotone, et ce n'est pas un accident
Une tendance haussière sur ES n'est pas une droite bruitée. C'est une alternance : poussée, pause, reprise, essoufflement. Cette alternance a des causes structurelles identifiables, et aucune n'est mystique.
| Mécanisme | Effet observable | Vocabulaire périodique |
|---|---|---|
| Exécution fractionnée | Un ordre institutionnel important est découpé en tranches sur plusieurs heures (VWAP, TWAP, POV). L'achat revient donc par vagues. | Périodicité forcée par l'algorithme d'exécution |
| Prise de profit | Après une extension, les positions gagnantes sont soldées : l'offre réapparaît mécaniquement au-dessus du marché. | Amortissement, retour vers la moyenne |
| Horaires | Ouverture cash, fixings, publication de statistiques, clôture : la liquidité et la volatilité suivent un profil intrajournalier stable. | Saisonnalité — composante réellement périodique |
| Contraintes de risque | Les limites de VaR et les couvertures de gamma des teneurs de marché forcent des achats ou ventes en fonction du niveau atteint. | Rappel élastique / force de rappel |
| Latence de conviction | L'information se diffuse à des vitesses différentes selon les participants. | Déphasage entre acteurs |
Parmi ces cinq mécanismes, un seul produit une vraie périodicité au sens mathématique : la saisonnalité horaire. Les autres produisent des oscillations amorties de période variable. C'est une différence de nature, pas de degré. Une oscillation amortie de période variable ne se prévoit pas par extrapolation d'une sinusoïde ; elle se décrit par les mêmes outils, ce qui n'est pas la même chose.
Ce que la trigonométrie apporte concrètement
Quatre gains, tous opérationnels :
- Séparer le niveau de la vitesse. Un prix haut et un prix qui monte vite sont deux états différents, qui appellent des décisions différentes. Le langage courant les confond sans arrêt ; les dérivées non.
- Nommer la position dans le mouvement. « Phase » est un mot précis : c'est l'endroit où l'on se trouve dans un cycle, indépendamment de l'amplitude de ce cycle.
- Comparer l'incomparable. Une impulsion de 12 points en 4 minutes et une de 30 points en 40 minutes se comparent par leur pente normalisée, pas par leur taille.
- Mesurer les avances et retards. Le déphasage quantifie ce que les chartistes appellent « divergence » — et le quantifie en unités de temps.
Le cercle trigonométrique
Cinq mots à maîtriser : angle, rayon, phase, période, fréquence. Tout le reste de la formation en découle.
Un point M se déplace sur un cercle de rayon 1 centré sur l'origine. Sa position est entièrement décrite par un seul nombre : l'angle θ entre l'axe horizontal et le rayon OM. Ses coordonnées sont par définition :
Il n'y a rien de plus à retenir sur la définition. Le cosinus et le sinus ne sont pas des formules exotiques : ce sont l'ombre horizontale et l'ombre verticale d'un point qui tourne.
Le point est saisissable directement dans le cercle. Observez que cos θ et sin θ ne dépassent jamais 1 en valeur absolue : une oscillation pure est bornée. C'est déjà une information de marché — un mouvement borné et un mouvement en tendance ne relèvent pas du même modèle.
Le vocabulaire, terme à terme
| Terme | Définition mathématique | Lecture de marché |
|---|---|---|
| Angle θ | Position sur le cercle, en radians (2π = un tour complet) | Où l'on se situe dans le mouvement en cours |
| Rayon A | Distance au centre — l'amplitude de l'oscillation | L'ampleur du swing, en points ou en ATR |
| Phase φ | Décalage angulaire à l'instant initial | L'avance ou le retard d'un signal sur un autre |
| Période T | Durée d'un tour complet | Durée moyenne d'un cycle impulsion + correction |
| Fréquence f | f = 1 / T — nombre de tours par unité de temps | Nombre de swings par séance |
| Pulsation ω | ω = 2π f — vitesse angulaire | Le rythme du marché, en radians par barre |
Les degrés sont commodes pour parler ; les radians sont obligatoires pour calculer. Un tour complet vaut 360° ou 2π ≈ 6,283 radians. Toutes les fonctions sin() et cos() de vos plateformes (Python, C#, EasyLanguage, PineScript) attendent des radians. C'est l'erreur d'implémentation la plus fréquente : un facteur π/180 oublié.
Le sinus : la rotation vue de profil
Dérouler la rotation dans le temps. C'est l'opération qui transforme un cercle en graphique.
Si l'angle croît régulièrement avec le temps — θ = ωt — alors l'ordonnée du point trace une courbe régulière : la sinusoïde. C'est exactement ce que fait la figure ci-dessous : le point tourne à gauche, et sa hauteur est reportée à droite, barre après barre.
Amplitude : la taille du swing. Pulsation : le nombre de cycles dans la fenêtre — augmentez-la et le marché « respire » plus vite. Phase : décale toute la courbe horizontalement sans rien changer d'autre.
Les quatre repères du cycle
Activez le bouton Repères sur la figure. Quatre positions structurent le tour :
| Angle | Valeur de sin θ | Pente | État du mouvement |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | maximale (+1) | Traversée du point neutre à vitesse maximale |
| 90° | +1 (maximum) | nulle | Sommet : la valeur est extrême, la vitesse est nulle |
| 180° | 0 | minimale (−1) | Retour au neutre, à vitesse maximale vers le bas |
| 270° | −1 (minimum) | nulle | Creux : valeur extrême basse, vitesse nulle |
Une confusion très répandue consiste à dire : « 90° = accélération maximale, 180° = sommet ». C'est faux si l'on modélise le prix par un sinus — le sommet est alors à 90°, pas à 180°.
Mais cette intuition n'est pas absurde pour autant : elle est simplement décalée d'un cran de dérivation. Si l'on modélise la vitesse du marché (le momentum, le delta cumulé) par un sinus, alors le prix est sa primitive — proportionnelle à 1 − cos(ωt) — et le sommet du prix tombe effectivement à 180°, tandis que la vitesse maximale tombe à 90°.
Les deux lectures sont cohérentes ; ce qui ne l'est pas, c'est de les mélanger. Avant toute lecture en phase, il faut déclarer ce que l'on modélise : le prix, ou sa vitesse. La figure du module 05 superpose explicitement les deux.
Cosinus et déphasage
Pourquoi certaines corrections commencent avant que la tendance ne soit terminée.
Le cosinus n'est pas une deuxième fonction à mémoriser : c'est le sinus en avance d'un quart de tour.
Cette relation est le modèle de tous les phénomènes d'avance et de retard entre séries de marché. Le prix, le volume, la VWAP et le delta cumulé décrivent le même événement, mais ne l'atteignent pas au même instant. Ce décalage est le déphasage, noté φ, et il se mesure en degrés — donc, en divisant par 360 et en multipliant par la période, en barres.
À droite, la figure de Lissajous : on trace B en fonction de A. À φ = 0° elle s'aplatit en une droite (les deux signaux sont interchangeables, aucune information supplémentaire). À φ = ±90° elle s'ouvre en cercle : c'est l'écart maximal, la configuration où le second signal apporte le plus d'information sur le premier.
Lecture opérationnelle du déphasage
| Déphasage | Ce qui est observé | Interprétation prudente |
|---|---|---|
| φ ≈ 0° | Prix et delta cumulé montent et descendent ensemble | Mouvement confirmé par le flux ; rien de particulier à signaler |
| φ > 0° (B en avance) | Le delta plafonne alors que le prix monte encore | Le flux acheteur ne suit plus le prix : configuration classiquement appelée divergence. Elle décrit un état, pas un signal d'entrée. |
| φ < 0° (B en retard) | Le volume culmine après le sommet du prix | Distribution en cours après extension ; fréquent sur les fins d'impulsion |
| φ ≈ 180° | Les deux signaux sont en opposition | Vérifier d'abord la construction de l'indicateur : un déphasage de 180° stable est le plus souvent une erreur de signe ou de lissage, pas un phénomène de marché. |
Convertissez toujours un déphasage en unité de temps avant de l'utiliser : un décalage de 45° sur un cycle de 40 barres vaut 40 × 45/360 = 5 barres. « Le delta est en avance de 5 barres » est exploitable. « Il y a divergence » ne l'est pas.
Toute moyenne mobile introduit un retard mécanique. Pour une moyenne simple de longueur n, ce retard vaut environ (n − 1)/2 barres ; pour une exponentielle de coefficient α, environ (1 − α)/α. Une part importante des « déphasages » observés entre un prix et son indicateur n'est donc rien d'autre que le retard du filtre. Avant de conclure à un phénomène de marché, retranchez le retard connu de vos filtres.
Dérivées : vitesse et accélération
Le concept le plus rentable de toute la formation, et le plus maltraité par le vocabulaire chartiste.
Trois grandeurs, trois questions distinctes :
| Grandeur | Question posée | Équivalent de marché |
|---|---|---|
| P(t) | Où est le prix ? | Le prix lui-même, les niveaux, les bornes |
| P′(t) | À quelle vitesse bouge-t-il ? | Momentum, pente, taux de variation (ROC) |
| P″(t) | Cette vitesse augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? | Accélération : c'est là que se logent breakout et essoufflement |
Pour la sinusoïde, la dérivation est particulièrement simple — chaque dérivation avance la phase de 90° et multiplie l'amplitude par ω :
Le bouton Vue prix / Vue vitesse bascule entre les deux modèles discutés au module 03 : soit le sinus représente le prix, soit il représente sa vitesse (et le prix devient sa primitive). Les repères de phase se déplacent en conséquence — c'est précisément la nuance à ne jamais perdre de vue.
La signature des quatre configurations
Chacune des situations que vous nommez déjà correspond à une combinaison de signes parfaitement définie :
| Configuration | P′ | P″ | Description mesurable |
|---|---|---|---|
| Breakout | > 0 | > 0 | Le prix monte et accélère. C'est le seul état où les deux dérivées sont positives simultanément. |
| Essoufflement | > 0 | < 0 | Le prix monte encore mais décélère. Le sommet n'est pas atteint — l'accélération s'inverse toujours avant le sommet. |
| Pullback | < 0 | > 0 | Le prix baisse mais la baisse ralentit. Configuration de fin de correction. |
| Capitulation | < 0 | < 0 | Le prix baisse et la baisse s'accélère. |
Retenez la chronologie, elle est structurelle et non négociable : l'accélération s'inverse avant la vitesse, qui s'inverse avant le prix. P″ passe par zéro au point d'inflexion, P′ passe par zéro au sommet. C'est la raison mathématique pour laquelle les oscillateurs de momentum « tournent » avant le prix — et aussi la raison pour laquelle ils tournent souvent trop tôt : une décélération n'est pas un retournement, c'est seulement sa condition nécessaire.
La dérivation amplifie le bruit haute fréquence proportionnellement à la fréquence (facteur ω), la dérivation seconde proportionnellement à son carré (facteur ω²). Sur des données tick ou 1 minute non filtrées, une dérivée seconde brute est essentiellement du bruit. Tout usage sérieux de P″ suppose un lissage préalable — et donc l'acceptation du retard que ce lissage introduit (module 04). Il n'existe aucun moyen d'échapper à ce compromis ; on ne peut que le choisir consciemment.
Les cycles de marché — et leur limite
Construire une série de prix à partir de cycles connus, puis essayer de les retrouver. L'expérience est instructive.
Le modèle additif standard décompose une série en trois composantes :
La figure ci-dessous fabrique une série selon cette formule — vous en contrôlez tous les paramètres — puis calcule son spectre par transformée de Fourier discrète. Le spectre indique quelle énergie est présente à chaque période. Avec deux cycles injectés, on devrait voir deux pics.
En haut, la série synthétique. En bas, son spectre : chaque barre indique l'énergie présente à une période donnée. Les deux périodes injectées sont marquées en jaune.
L'expérience à mener
Faites-la maintenant, dans cet ordre :
- Mettez le bruit à 0. Le spectre montre deux pics nets, exactement aux périodes choisies. Le modèle est parfaitement identifiable — évidemment, puisqu'il est vrai.
- Montez le bruit à 0,6. Les pics sont encore là, plus larges, sur un fond d'énergie.
- Montez le bruit à 1,5 — un rapport signal/bruit encore optimiste par rapport à des rendements intrajournaliers réels. Les pics deviennent difficiles à distinguer des maxima locaux du bruit. Pourtant, par construction, les cycles sont toujours là, inchangés, à la même amplitude.
- Montez la tendance. Observez l'énergie qui s'accumule dans les très longues périodes et déforme tout le bas du spectre : c'est la « fuite spectrale » d'une composante non périodique.
Cette figure est la démonstration la plus importante du support. Elle établit que l'analyse spectrale d'une série de prix ne permet pas de conclure de façon fiable à l'existence de cycles exploitables, même lorsque ces cycles existent réellement et sont parfaitement stationnaires — ce qu'ils ne sont jamais sur données réelles.
Et le problème est symétrique : appliqué à du bruit pur (mettez les deux amplitudes à zéro), le périodogramme continue d'afficher des pics. Ils n'ont aucune signification. C'est le mécanisme exact par lequel se fabriquent les « cycles de 17 jours » de la littérature : on regarde un spectre bruité, on nomme le maximum, on l'appelle un cycle.
La bonne pratique consiste à exiger d'un cycle qu'il soit (1) présent sur des sous-périodes disjointes, (2) justifiable par un mécanisme structurel — saisonnalité horaire, échéance, calendrier de publication — et (3) significatif face à un test sur données substituées. À défaut des trois, on décrit, on ne prévoit pas.
Les vecteurs : un mouvement a une direction et une intensité
Un déplacement de prix se lit dans un plan à deux dimensions, dont l'une est le temps. On l'oublie constamment.
Un mouvement de A vers B se décrit par un vecteur à deux composantes :
Le vecteur est saisissable à son extrémité. Les trois grandeurs affichées à droite sont celles qui comptent : la pente brute (points par barre), la pente normalisée (en ATR par barre) et l'efficience du déplacement.
Les trois mesures dérivées du vecteur
| Mesure | Formule | Ce qu'elle permet |
|---|---|---|
| Pente brute | ΔP / Δt | Vitesse en points par barre. Non comparable entre instruments, ni entre régimes de volatilité, ni entre unités de temps. |
| Pente normalisée | ΔP / (Δt × ATR) | Vitesse exprimée en « ATR par barre ». Comparable entre ES, NQ, YM et entre séances calmes et agitées. C'est la seule mesure de vitesse à utiliser pour un classement. |
| Efficience | |ΔP| / Σ|variations| | Rapport entre le chemin utile et le chemin parcouru. Proche de 1 : mouvement directionnel. Proche de 0 : agitation sans progression. |
Une impulsion de 24 points en 18 barres avec un ATR de 1,6 vaut 24 / (18 × 1,6) = 0,83 ATR par barre. Ce nombre est directement comparable à celui de n'importe quelle autre impulsion, sur n'importe quel instrument, à n'importe quelle date. C'est la brique de base d'une classification objective des mouvements — et le point de départ de toute automatisation sérieuse.
Les angles du marché — et pourquoi ils n'existent pas
Le module le plus contre-intuitif de la formation. Il faut le faire avant d'utiliser le moindre outil angulaire.
Une question fréquente : « à partir de quel angle une tendance est-elle puissante ? 45° ? 60° ? ». Cette question, telle qu'elle est posée, n'a pas de réponse, et la figure ci-dessous montre pourquoi en dix secondes.
Les données ne changent jamais pendant cette manipulation. Seul l'affichage change. L'angle mesuré à l'écran, lui, varie de quelques degrés à presque 90°. Il ne mesure donc pas le marché : il mesure votre fenêtre de graphique.
Un angle sur un graphique est le rapport entre une distance en pixels verticaux et une distance en pixels horizontaux. Il dépend donc de la hauteur de votre fenêtre, du nombre de barres affichées, de votre définition d'écran et du choix d'échelle linéaire ou logarithmique. Deux traders regardant la même donnée mesureront des angles différents.
Toute méthode fondée sur des angles bruts — la famille des « lignes à 45° » notamment — dépend d'un choix d'échelle arbitraire qui n'est presque jamais explicité. Ce n'est pas nécessairement inutile : c'est simplement non reproductible tant que l'échelle n'est pas fixée et publiée avec la méthode.
La reconstruction correcte
Il existe cependant une manière rigoureuse de récupérer l'idée d'angle : il suffit de définir une échelle qui n'est pas arbitraire. On divise le prix par une unité de volatilité (l'ATR) et le temps par une barre. Le rapport devient alors sans dimension, et son arc tangente est un angle reproductible :
Avec cette définition, un angle redevient une mesure. Les seuils ci-dessous sont donnés comme grille de classification à recalibrer sur votre propre instrument et votre propre unité de temps — ce ne sont pas des constantes universelles :
| Pente normalisée | α | Régime observé |
|---|---|---|
| < 0,25 ATR/barre | < 14° | Dérive lente. La progression est inférieure au bruit de la barre. |
| 0,25 – 0,75 | 14° – 37° | Tendance ordonnée, généralement soutenable. |
| 0,75 – 1,5 | 37° – 56° | Impulsion franche. Progression supérieure à l'ATR par barre. |
| > 1,5 | > 56° | Mouvement en accélération. Historiquement de courte durée : le marché ne soutient pas longtemps plusieurs ATR par barre — mais « courte durée » ne veut pas dire « retournement imminent ». |
Ne dites plus « la pente est de 60° ». Dites « la progression est de 1,2 ATR par barre sur les 15 dernières barres ». La première phrase dépend de votre écran ; la seconde est vérifiable par un tiers, journalisable, et codable en trois lignes.
Amplitude et volume : l'onde modulée
Le prix donne l'oscillation, le volume donne l'amplitude, le delta donne le sens.
Une sinusoïde à amplitude constante ne ressemble à aucun marché. Ce qu'on observe réellement, ce sont des oscillations dont l'amplitude varie — des phases de compression suivies de phases d'expansion. Le modèle correspondant s'appelle une modulation d'amplitude :
L'histogramme du bas représente le volume, qui pilote l'enveloppe. Les zones étiquetées compression correspondent à un volume faible et une amplitude qui se contracte ; les zones expansion à l'inverse.
Répartition des rôles
| Série | Rôle dans le modèle | Ce qu'elle ne dit pas |
|---|---|---|
| Prix | La phase — où l'on se trouve dans le mouvement | Rien sur la solidité du mouvement |
| Volume | L'amplitude potentielle — l'énergie disponible | Rien sur la direction : le volume est une grandeur positive |
| Delta | Le signe de la force — qui, de l'acheteur ou du vendeur, est agressif | Rien sur la taille du mouvement à venir |
| VWAP | Le niveau d'équilibre — le centre de l'oscillation | Rien sur la vitesse d'écartement |
Les trois questions à poser dans cet ordre, sur toute configuration : (1) Où en est la phase ? — position dans le mouvement en cours. (2) Quelle amplitude est disponible ? — volume et volatilité récente. (3) Dans quel sens s'exerce la force ? — delta, initiative. Une réponse manquante à l'une des trois est une raison suffisante de ne pas intervenir ; le vocabulaire de ce cours sert d'abord à rendre chaque réponse explicite.
Applications professionnelles
La grille de lecture d'une séance, puis un contrôle de compréhension.
Grille de lecture d'une séance ES
À appliquer dans l'ordre, sur chaque séance étudiée. Chaque ligne doit produire un nombre, pas une impression.
| Étape | Mesure à produire | Outil du cours |
|---|---|---|
| 1. Cadre | ATR de la séance, en points par barre | Unité de normalisation — module 07 |
| 2. Amplitude | Taille des trois derniers swings, en ATR | Amplitude A — module 03 |
| 3. Rythme | Durée moyenne d'un aller-retour, en barres | Période T — module 02 |
| 4. Phase | Position dans le swing en cours (0–360°) | Phase θ — module 03 |
| 5. Vitesse | Pente normalisée des 10 dernières barres | P′ normalisée — modules 05 et 08 |
| 6. Accélération | Signe de la variation de la pente | P″ — module 05 |
| 7. Décalages | Avance ou retard du delta sur le prix, en barres | Déphasage φ — module 04 |
| 8. Enveloppe | Volume relatif à sa moyenne : compression ou expansion | A(t) — module 09 |
Sur dix séances consécutives du ES, remplissez cette grille toutes les trente minutes. Notez également, séparément, ce qui s'est produit ensuite. Au bout de dix séances, vous disposerez d'environ 130 observations chiffrées : de quoi commencer à répondre par des statistiques — et non par des souvenirs — à la question « après quel état observe-t-on quoi ? ». C'est l'unique manière honnête de passer de la description à quoi que ce soit d'autre.
Contrôle de compréhension
Corrélation ES / NQ / YM — la corrélation est un cosinus
Trois instruments, un seul marché. Ce module mesure exactement ce que « suivre trois indices » apporte — et ce que cela n'apporte pas.
Ce module n'introduit aucun outil nouveau. Il applique ceux des modules 04 et 07 à trois séries simultanées. Le résultat central tient en une identité, et cette identité est de la trigonométrie pure.
1 · L'identité fondatrice
Prenez les rendements d'un instrument sur n barres et centrez-les : vous obtenez un vecteur dans un espace à n dimensions. Faites de même pour un second instrument. Le coefficient de corrélation de Pearson entre les deux séries n'est rien d'autre que le cosinus de l'angle entre ces deux vecteurs :
Cette identité n'est pas une analogie pédagogique : c'est la définition même du produit scalaire, réécrite. Elle change immédiatement la façon de lire un chiffre de corrélation. ρ = 0,94 ne se lit plus « 94 % de quelque chose », mais « un angle de 20 degrés » — deux vecteurs presque confondus.
À gauche : les deux vecteurs de rendements et l'angle qui les sépare. À droite : le nuage de points correspondant — c'est la figure de Lissajous du module 04, appliquée à deux instruments. Le panneau central donne les quatre grandeurs qui comptent.
2 · Ce que ρ = 0,94 signifie réellement
Quatre lectures d'un même nombre, de la plus optimiste à la plus utile :
| Grandeur | Valeur à ρ = 0,94 | Lecture |
|---|---|---|
| θ = arccos ρ | 20° | L'angle entre les deux séries. Les vecteurs sont presque colinéaires. |
| R² = ρ² | 0,88 | 88 % de la variance du NQ s'explique linéairement par celle de l'ES. Les 12 % restants sont la seule information propre au NQ. |
| σ résiduel = √(1 − ρ²) | 0,34 | L'écart-type de ce qui reste après retrait de l'ES, en unités d'écart-type du NQ. |
| P(même signe) | 88,9 % | La probabilité que les deux instruments varient dans le même sens sur une barre donnée. C'est la grandeur décisive pour tout filtre d'alignement. |
Cette dernière ligne mérite son propre développement, car elle se calcule exactement — et, une fois de plus, par une fonction trigonométrique. Pour deux séries gaussiennes centrées de corrélation ρ, le théorème de Sheppard donne :
Un filtre du type « je ne prends le signal ES que si le NQ va dans le même sens » laisse passer, à ρ = 0,94, 88,9 % des barres. Il en rejette 11,1 %.
Autrement dit : neuf fois sur dix, il ne fait rien du tout. La question opérationnelle n'est donc pas « le filtre est-il logique ? » — il l'est — mais « les 11 % rejetés sont-ils précisément les mauvais signaux, ou un échantillon quelconque ? ». C'est une question empirique, qui ne se tranche que par la mesure, et l'échantillon disponible pour la trancher est dix fois plus petit qu'on ne le croit.
À ρ = 0,50, le même filtre rejetterait 33 % des barres : il deviendrait un vrai filtre. Le pouvoir discriminant d'un filtre d'alignement est donc inversement lié à la corrélation — et sur ES / NQ / YM, la corrélation est précisément ce qui est le plus élevé.
3 · Faire tourner les axes : marché commun et écart
Puisque deux instruments corrélés forment un nuage allongé, il suffit de faire tourner le repère pour séparer ce qui est commun de ce qui est propre. C'est une rotation, au sens exact du module 02 :
À ψ = 45° et variances égales, les deux axes tournés sont exactement les axes propres du nuage. La variance portée par u vaut 1 + ρ, celle portée par v vaut 1 − ρ. À ρ = 0,94 : 1,94 contre 0,06, soit un rapport de 32 pour 1.
La conséquence pratique est directe. Regarder l'ES et le NQ séparément revient à regarder deux fois la même chose, à 3 % près. En revanche, la série v — l'écart entre les deux, une fois la volatilité normalisée — est une série différente, à faible variance, et souvent bien plus lisible : elle ne contient plus le mouvement général du marché. C'est là que se trouve l'information propre à un instrument, et c'est le point de départ de tout travail relatif entre indices.
4 · La corrélation n'est pas une constante
Un chiffre unique de corrélation calculé sur une longue période masque l'essentiel : ρ varie, et c'est précisément quand il chute que quelque chose se produit.
Figure simulée, non issue de données réelles. Elle illustre deux effets à connaître : une fenêtre courte rend ρ très instable même sans rien changer au marché, et un décrochage réel d'un instrument ne devient visible qu'avec un retard égal à environ la moitié de la fenêtre.
- Corréler des prix, jamais. Deux séries de prix tendancielles affichent des corrélations proches de 1 sans aucune relation réelle — c'est la régression fallacieuse. La corrélation ne se calcule que sur des rendements.
- Synchroniser avant de corréler. Des barres volumétriques de 1500 ticks ne se ferment pas au même instant sur ES, NQ et YM : leurs rythmes diffèrent d'un facteur important. Corréler les barres par leur numéro d'ordre mesure un artefact. Il faut ré-échantillonner sur une horloge commune — la minute, par exemple.
- Une fenêtre courte fabrique du signal. L'écart-type de ρ estimé sur n points vaut environ (1 − ρ²)/√n. Sur 30 barres à ρ = 0,94, cela donne ±0,02 : acceptable. Sur 30 barres à ρ = 0,3, cela donne ±0,17 : la moitié des variations observées ne sont que du bruit d'estimation.
5 · Combien d'instruments suivez-vous réellement ?
La question a une réponse chiffrée. Pour trois séries de corrélation mutuelle ρ, les valeurs propres de la matrice de corrélation valent 1 + 2ρ pour la première, et 1 − ρ pour les deux autres. Le nombre effectif de séries indépendantes se calcule alors ainsi :
Ce résultat est le plus important du module. Avec une corrélation mutuelle de 0,94, trois instruments valent 1,08 instrument indépendant. La première composante porte 96 % de la variance totale.
Voir « l'ES, le NQ et le YM confirmer tous les trois » ne constitue donc pas trois observations concordantes : c'est une seule observation, affichée sur trois écrans. Le sentiment de confirmation qu'elle procure est réel, mais il n'a pas de contrepartie informationnelle. C'est un biais de redondance, et il est d'autant plus efficace qu'il est visuellement convaincant.
La conclusion opérationnelle n'est pas d'abandonner les trois instruments — leurs résidus diffèrent, et ces résidus sont exploitables. C'est de cesser de traiter leur accord comme une preuve, et de mesurer séparément ce que chacun apporte au-delà du facteur commun.
6 · Calculateur sur vos propres données
Tous les chiffres ci-dessus sont donnés pour ρ = 0,94, valeur de référence. Le calculateur ci-dessous les recalcule sur vos fichiers. Il attend des exports au format TAPE_BARS — séparateur point-virgule, colonnes Time et Close — et effectue de lui-même la synchronisation à la minute et le passage aux rendements logarithmiques.
Les fichiers sont lus par le navigateur et ne quittent jamais votre poste : aucune requête réseau n'est émise. Ce document fonctionne hors ligne.
Le calculateur affiche l'intervalle de dates qu'il a détecté : vérifiez-le avant de lire les résultats. C'est le seul contrôle possible contre une mauvaise interprétation du format de date par votre plateforme d'export.
Ce que ce module ajoute à la grille de lecture
| Étape | Mesure à produire | Décision qu'elle informe |
|---|---|---|
| 9. Régime de corrélation | ρ glissant ES/NQ sur 30 barres | Un ρ élevé signale un marché piloté par le facteur commun : les signaux propres à un instrument sont peu fiables. |
| 10. Écart | Position de la série v par rapport à sa moyenne, en écarts-types | La seule série vraiment différente des trois. Un écart extrême est un événement ; un mouvement commun n'en est pas un. |
| 11. Redondance | Neff sur la fenêtre courante | Combien d'observations indépendantes sont réellement à votre disposition — donc quel poids accorder à une « confirmation ». |
Fourier et épicycles
Pourquoi n'importe quelle forme peut être reconstruite par des cercles — et pourquoi cela ne constitue jamais une preuve.
Le théorème de Fourier énonce qu'une fonction périodique raisonnable est la somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers d'une fréquence fondamentale. Géométriquement, cela revient à enchaîner des cercles : chaque cercle tourne à sa propre vitesse, et l'extrémité du dernier trace la courbe cible.
La cible en dent de scie n'est pas choisie au hasard : c'est le profil idéalisé d'un cycle impulsion lente / correction brutale. Montez le nombre d'harmoniques et observez la reconstruction se resserrer.
Avec suffisamment d'harmoniques, on reconstruit n'importe quelle courbe, y compris une série de prix passée, y compris du bruit pur. Un ajustement parfait sur l'historique n'apporte donc aucune information sur la suite : c'est la définition même du surajustement.
Le test qui compte n'est jamais la qualité de l'ajustement passé. C'est la stabilité hors échantillon : les mêmes fréquences, avec les mêmes phases, doivent se retrouver sur une période que le calcul n'a pas vue. Sur données de marché, cette stabilité est l'exception, et elle est presque toujours liée à un mécanisme structurel identifiable — pas à une propriété cachée du prix.
Prolongement : le programme de niveau ingénieur
Le présent support couvre le socle descriptif. Un second niveau, d'environ 25 à 30 heures, peut être construit sur les mêmes fondations :
- Analyse spectrale rigoureuse — fenêtrage, fuite spectrale, périodogramme de Welch, tests de significativité sur données substituées.
- Transformée de Hilbert — phase et amplitude instantanées, construction d'un indicateur de phase, et ses conditions de validité (signal à bande étroite).
- Filtrage — Butterworth, filtres passe-bande, compromis retard/lissage, filtres à phase nulle et leur biais de lecture rétrospective.
- Exposant de Hurst — mémoire longue, méthodes d'estimation et leurs biais sur échantillons courts.
- Modèles dynamiques — oscillateur amorti, retour à la moyenne (Ornstein-Uhlenbeck), estimation des paramètres.
- Protocole de validation — validation croisée temporelle, walk-forward, correction du biais de sélection multiple.
Fiche de rappel
À conserver à côté de l'écran.
Onde
Amplitude, pulsation, phase. y = A sin(ωt + φ)
Période et fréquence
Une période = un tour complet. T = 2π / ω
Dériver
Avance la phase de 90°, multiplie l'amplitude par ω. P′ = Aω cos(ωt)
Chronologie
L'accélération s'inverse avant la vitesse, qui s'inverse avant le prix. P″ → P′ → P
Déphasage en barres
Convertir avant d'interpréter. n = T × φ / 360
Pente normalisée
La seule vitesse comparable. v = ΔP / (Δt × ATR)
Angle reproductible
Jamais l'angle affiché à l'écran. α = arctan(v)
Quatre états
Signes de P′ et P″ : breakout (+,+), essoufflement (+,−), pullback (−,+), capitulation (−,−).
Corrélation
C'est un cosinus, donc un angle. ρ = cos θ
Filtre d'alignement
Proportion de barres déjà alignées. ½ + arcsin(ρ)/π
Redondance
Trois instruments à ρ = 0,94 valent 1,08 instrument. N = (Σλ)² / Σλ²
Retard d'une moyenne
À retrancher de tout déphasage observé. ≈ (n − 1) / 2 barres
Aucun outil de ce support ne prédit le marché, et aucun ne prétend le faire. Ils font autre chose, qui a plus de valeur sur la durée : ils transforment des impressions en mesures. Une impression ne se teste pas, ne se transmet pas, ne s'automatise pas et ne s'améliore pas. Une mesure, si.